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灰色系统预测

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维普资讯 http://www.cqvip.com 农 龟 糸 宛, 预刘  灰 色 —   系 — — 一 统 — _ —   一   预 测  姚德 民 李 旭 卜2 _ 2   0   ( 哈 尔滨 工 业 大学 管 理 学院 )   一 、 灰 色 系 统 的 概 念 及 其 建 模 思 想  灰 色 系 统 是 指 信 息 不 完 全 的 系 统 , 是 相对 于 黑 色 系 统 和 白 色系 统而 言的 。

黑 色 系统 是 指  人们对系统 的内部 结构、参 数、特征 等一无所知,只能从系统对多 次输入 的响应 来 研 究 系  统 。

这 里 的 黑表 示 信 息 完 全 缺 乏 。

反 之 , 一 个 系 统 的 内 部 结 构 、 参 数 , 特 征 等是 完 全 确 知  的 , 则 称它 为 自 色 系 统 。

这里 的 白表 示 信 息充 分 。

而 介 于黑 色 与 白色 系 统 之 间, 即对 于系 统  的 内部 信 息 ,部 分 是 已知 的 , 而 部 分 是 未 知 的 , 这类 系统 便 称为 灰 色 系 统 。

在 物 质 世 界 中 ,   尤 其 是 社 会 、 经 济 系 统, 大 多 是 灰 色 系统 。

这 些 系 统 除 了时 间 数 据 外 , 其 它信 息很 少 。

灰 色  系统理论 就是应用这一直观事实,有效地 利用 已知信息,通过  生成 数”的办 法将 时间序 列  转 化为 微 分 方 程 , 建 立 起 系 统 的 动态 模 型 。

尽 管 当 前对 此 理 论 尚 有 不 同看 法 ,但 作 为一 种 思  想和方 法仍有介绍的价值 。

从控 制论 的角度看,它是一种新型 的建模思想 与方法 ・从数 学 角   度看 , 它 是 一 种 新 的 拟 合 途 径 。

它较 好 地 消 除 了随 机 因 素 的 影 响 , 从 而 有 利 于探 讨经 挤现 象  的发 展 规 律 。

  灰 色 系 统 理 论 认 为 , 社 会 经 济现 象 都 具 有 明 显 的 随 机 性 , 即 现 象 的发 展 随 时 问 波动 ,没  有规律可 循。

但是如果 把时 间序 列对时 间累加 ,则随机性被弱 化J对 于非页 数据序列 累加 次  数越 多 , 随 机 性 弱 化 也 越 多 J 当累加 次数 足够 大 后 , 则 可 认 为 时 间 序 列 已由 随 机 变 为 非 随 机  了。

这 时 经 累加 生 成 的 数 列 大 多 可 甩指 数 曲线 来拟 合 。

例 如 下 列 数 据 资料 t   l  ;   2  l   3  {   4  l   5  l   6   j £ 。

  2 0 0  1  4 o   9 0   1 9 C  l  1 6 c   i r , o   宁列做一 次累加 ,可得如下数 据序 列:   按 时 间  7   4 . 0   l   2  l   3  l   4 『   5  l   6   X   2 加 f  2 4 0  l  3 3 口   5 2 0 .6 8 0  l  7 4 0   将  0 、   与f 的关系作成图 1 , 图 2。

  7   7 8 0   可 以看 出,图 1 的曲线 有波动,无 明显规律,而 圈 2的曲线则无波动, 且有明显 的8 型  增 长 规律 。

所 以灰 色 系 统 理论 , 就 是 从 这 一 思 想 出发 , 综合 利 用  生 成 数 ”和  原始 数 据  来 建 立 系 统 的动 态 模 型 , 从而 达 到 对 系 统 预 测 的 目的 。

灰 色 系 统 预 测 步骤 如 下 ;   I . 明确问题 ,搜 集、整 理原盘 f i 数据资料’  

维普资讯 http://www.cqvip.com 圈 l   原始 救据 圆  圈2 处 理 后 数 据序 列田  2.对原数据 傲生成处理,弱化其随 机性 3   3. 对生 成数 据 和 原始 数 据 进行 分 析 , 建 立 系 统 的预 测模 型 , 并进 行 预 测  4. 数 据 还 原 , 分 析 检 验 。

  二 、 灰 色 系 统 的 生成 数  灰色系统理论 的一个 基本 观点是:一切 含有随机干扰的变量都 可看作是在一定 范围 内变  化 的 灰 色 量 , 而 对 灰 色 量 的 处 置不 是 找概 率 分 布 , 求 统 计 规 律 ,而 是 用 数 据 处 理方 法 来 找 数  据 间 的 规律 。

我 们 称某 种数 据 处 理 的 方式 为 一 种生 成 方 式 , 而 由生 成 方 式 所 得 到 的数 据 叫 生  成数 。

  客 观 世界 尽 管 复 杂, 表述 其 行 为 特 征 的 数 据 可 能 杂 乱 无 章 。

然 而 系 统 本 身 总 是 有某 种 内  在 规 律 的, 因而 表述 它 的 数据 资料 也应 是 有 序 的 ,有 某 种 因果 关 系 的, 只 不 过 这 些 规 律 被 一  些纷乱 的现象所掩盖,为数据的杂乱现象所迷惑了。

对系统的行为特征数据进行生成,就是  试 图从 杂 乱 无章 的 现象 中 去 发现 内在 规 律 。

灰 色 系 统 常 用 的数 据 生 成 方 式 有 三 种 , 即 累 加生  成 、 累 减 生成 和 映 射 生 成 。

下面 介绍 前两 种常 用 的 数 据 生 成 方 式 。

  1. 累 加 生 威   累 加生 成 是 通 过 数 列 在 各 时 刻数 据 的依 次 累 加 而 得 到的 新 的数 据 数 列 。

累 加 前 的数 列 称  为 原始 数 列 , 累 加 后 的数 列 称为 生 成 数 列 。

  ( 1 ) 生 成 算珐  记  0 为 原始 数 列 :   0={ Xo C  ) f  =l , …,  }   记  为 生 成 数 列: X  { X  (  )l   =1 , …, " }   一 2 0—  

维普资讯 http://www.cqvip.com X, (  ) =∑ Xo (   ) ( ^ 为正整数,且 h ∈[ 1 ,  ] ,k :l , 2 ’ “ , n )   —   = X 1 (   一 1)+X   o(  )   则 称 X 为 一 次 生 成 数 列 。

当 h= l时 , 称 X (  ) 为 一 般 累 加 生 成 , h ∈[ 1 , k 3时, 称  X  (  ) 为 去 首 累 加 生 成 。

  同理 可得 次累 加 生 成 ;   X, (  ) =∑ X  (   ) =X  (  —1 ) +   2 — 1   一 般 情 况 下 ,一 次 累 加 生 成 , 就 足 以弱 化 原始 数 列 的随 机 性 , 发 现 事 物 的 内 在 规律 , 故  以后 不 加 特 殊 说 明 时, 累加 生 成 系 指 一 次 累 加 生 成 。

  ( 2 ) 算 法举 例  设 :X n ={ 4 . 3 4 ,4 . 8 2 ,4 , 7 6 ,5 . 2 0 ,6 . o o )   则  (   )(  =l , 2 , 3 , 4 , 5 ) 计 算 如 下:   XI ( 1 ) =∑ X0 ( { ) =  o ( 1 ) =4 . 3 4   i — i   2   1 ( 2 ) =∑ X0 ( i ) =4 . 3 4 十4 . 8 2 =9 . 1   6   一 1   3   】 ( 3 ) =∑   0 ( ; ) =4 . 3 4 +4 . 8 2 +4 . 7 6 =9 . 1 6 十4 . 7 6 =1 3 , 9 2   1一 L   4   l ( 4 ) =∑ X0 ( z ) =4 . 3 4 +4 . 8 2 + 4 . 7 6 +5 . 2 0  1 3 . 9 2 + 5 . 2 0  i   0   1 2   1 — 1   5   XI ( 5 ) =∑ XD ( i ) =4 . 3 4 十4 . 8 2 +4 . 7 6 +5 . 2 0 + 6 . O 0 =1 9 . 1 2 - +6 . O 0 =2 5 . 1 2   f — I   可 见 , 累 加 生 成能 使任 意 非 负 数 列, 摆 动 的 与 非摆 动 的 , 转 化 为 非 减 的递 增 数 列 ,经 累  加 生 成 后 , 能 得 到 较 强 的规 律 性 并接 近 某 一 函数 。

该 函 数 称 为 生 成 函数 , 即 一种 预 测 模 型 。

  2. 票 减 生成  累减生成 是累 加生成的逆 运算,亦称逆 生成 。

它是将原始 数 列中前 后两 数据 相减而成 。

  ( 1 ) 生 成 算 法  设  0 为 原始 数 列 ;X  D ={ X  o (  )   =l , 2 , …, ” )   记  为 生 成 数 列 :X , {   (  ) l   =l , 2 。

…, ” )   则  l (  ) =X 0 (  ) 一X  o (  一1 )(  =2 , 3 , …,  )   同理,可得  次累减生成 :   X  (  ):X  一1 (  ) )一 X   一 1 (   一1 )(   = 2, 3 , …, " )   累 减生 成 常 用 于 已生 成数 列 的 还原 运 算 中 。

  ( 2 ) 算法 举 例  一 0 卜一  

维普资讯 http://www.cqvip.com 设l   X  D :{ 4 . 3 4 ,9 . 1 6 ,1 3 . 9 2 ,i   9 . 1 2 ,2 5 . 1 2 )   则 一 次累 减 生 成 计 算 如 下 :   X . ( 1 )= 4 . 3 4   Xl ( 2 )= X  ( 2 )一 X Ⅱ ( 1 ): 9 . 1 6— 4. 3 4: 4 . 8 2   XI ( 3 )=X 0 ( 3 )一X 0 ( 2 )= 1 3. 9 2— 9. 1 6= 4. 7 6   Xf ( 4 )=X n ( 4 )一 X   D ( 3 )= 1   9. 1   2— 1   3. 9 2= 5. 2 0   XI ( 5 )=X 0 ( 5 )一 X   D ( 4 )= 2 5. 1 2— 1 9. 1 2= 6 . O 0   可见 ,累 减 生 成 恰 是 对 累 加 生 成 的 还 原 。

  三 、 灰 色 系 统 的 基 本 动 态 预 测 模 型  灰 色 系 统 中 的动 态 模 型 , 是 用 原始 数 据 生 成 后 的数 据 建立 差 分 方 程 , 它是 以生 成 数 据为  变 量建 立 的系 统 模 型 。

  1. GM( 1 , 1 ) 模 型  ( 1 ) 该模型 的形式及适用场 台  该 模 型 用 于 单 数 据 数 列, 做 一 次 累 加生 成 符 台 简 单 指 数 变 化规 律 的 情 况 。

  没累 加生 成的数据数列为:Xj :f  I (   ) I  =I , …, 月 ) ,则 G M( I , 1 )   模型 的形 式 为。

  学+  ~   这 是 一 个 一 阶 线性 微 分 方程 。

其 中Ⅱ ,   为 待 定 系 数 。

该 方 程 的解 为 ;   =   一 ( 1 )   吉 e   又 , 当  l   I   =X  o ( 1 )   所 以, C= (  一Ⅱ  0 ( 1 ) ) 8   所 以, 微 分 方 程 的 解为 。

  : c  。

c -   ~ 告  一 。

‘   一   ’ + 詈   ’   c   z ,   当  、   为 离 散 变 量 时, 其 相 应 的 差分 方 程 为 t   (  +1 ):(   。

( 1 )一 U 3 e-a k   u  1 (3 )   从微 分 方程 的 解 可 知 , 当 累 加 生 成 的时 间序 列 的 变 化 趋 势 符 台 简 单 的指 数 规 律 时, 可 用  GM ( 1 。

1 )模型拟合 。

  ( 2 ) 参数 估 计  建 立 动 态 拟 合模 型 后 , 下 一 问 题 就 是 估 计 模 型 中 的 参数 。

将 (1) 式 移 项 后 , 得 。

  d   : 一0 X +   t   。

  ’   (4 ) 根 据 导 数 的 意义 可  : 当  为 离 散 变 量 且 差 分 步 长为 单 位 时 问 时 ,  ̄ J d X, / d t =   u   一 2 2 — 

维普资讯 http://www.cqvip.com 所以 ( 4) 式 变 为  X n= 一 a X- +“   (5)   ( 5 )式 中 ,   、   为 已知 的 时 间序 列 ,Ⅱ 、4 为待 定 系数 。

故 可 用 一 元 线 性 回 归 来 估 计  o 、“ 。

但 须 注 意 ,我 们 所 研 究 的 问题 是 离 散 的 , 故 认 为 相 邻 两 时 间 点 函 数值 的连 线 可 作为 该  两 时 间 点 中 点 的 导数 值 。

这 在 计 算 中应 予 注 意 。

  2.GM ( 1 , 2 ) 模 型  ( 1 )模 型 的 形 式 及 适 用 场 合  此 模 型 可 用 于 单 数 据 数 列且 做 一 次累 加 生 成 后 的 时 间数 列 的 变 化 趋势 比 较 复 杂 的 情 况 。

  设 累 加 生 成 的 数 据 数 列 为 : XJ ={  . (  ) I §=1 , …,   ) 则 GM ( 1 , 2 )模 型的形式为:   d   * X 1 . + Ⅱ 】 学  X   = “   这 是 一 个二 阶线 性 微 分 方 程 。

其 中, 0 .  0 : 、“ 为待 定系数 。

  设  、   为( 6 )式 所 对 应 的 齐 次方 程 的 特 征 方程 的 两 个 特 征 根 , 则 ( 6) 式 的解 中必 包  f   Cl  1  十C2 口   z   1 年 2   括 如 下部 分 ;   XI  ={ ( CI +C  2 t )   l 口  ( C1 c o s lt f 十C   2 s l n Bt )   ( 2 ) 参 数 估计  1 =  2 :   1 、 z =口±   由 此 即 可 判断 出 , 这 一 模 型 所 拟 合 的 累 加 生 成 数 列 的 变化 趋 势 可 以是 相 当 复 杂 的 。

  参 数估 计 就 是 确 定 (6)式 中 的待 定 系 数 0   、Ⅱ 。

 “ 。

对 ( 6 )式傲移 项处理后,有t   一 一 。

学  “   …  根 据 系 数 的 意义 及所 研 究 问题 的 离 散性 可知 ;d X1 /   =X  0 ,d   X  / 出  为  0 的 一 次 累  减 生 成 数 。

这 样 , ( 7 )式的参数估计就 可通过二元线性回归来获 得。

  灰 色 系统 的动 态 预 测 模 型 还 有 许 多 ,诸 如; GM ( 2 , 1 ) , GM ( 1 , Ⅳ) , GM (   , Ⅳ) 等。

  其建模 的思想及 参数估计方 法与前面两种相 同,限于篇 幅及考虑 上两 种模 型较为常用,故不  赘述 。

  四 、 灰 色 系统 预 测 应 用 举 例  例 ; 某 地 区 某 种 电子 器 件 的 销售 额 统 计资 料 见 表 1, 试 预  ̄ | 1 9 9 2 年 该地 区 该 产 品 销 售  额。

  寰 I   某 电 子 器件 1 9 8 4  ̄1 ¥ 9 1 年 铺 售 馥  万 元  年  铕 哲 份  颧   l 1 9 8 4   2 5 0   1 9 8 5   1 4 5   1 9 8 6  l  I 9 8 7   1 0 5   g 4   1 9 8 8   6 6   1 9 8 9   5 5   1   9 9 0   2 9   1 9 9 1   1 1   1 9 9 2   7   1. 对 上 述数 据 序 I 傲 一 次 累加 生 成  - 一 次 累 加 生 成 如 下:   一 2 3 — 

维普资讯 http://www.cqvip.com X1 ( 1 )= X   0 ( 1 )= 2 6 0   Xl ( 2 )= X l ( 1 )+X   0 ( 2 )= 2 6 0+ l 4 5= 4 0 5   Xl ( 3 )= X 1 ( 2 )+X   D ( 3 )= 4 0 5+ 1 0 5= 5 1 0   Xl ( 4 )= X l ( 3 )+X   0 ( 4 )= 5 l O+ 9 4= 6 0 4   Xl ( 5 )= X , ( 4 )+X   0 ( 5 )= 6 0 4+ 6 6= 6 7 0   Xl ( 6 )= X I ( 5 )+X Ⅱ ( 6 )= 6 7 0+ 5 5= 7 2 5   X l f   7 )= X l ( 6 )+X   o ( 7 )= 7 2 5+ 2 9= 7 5 4   Xl ( 8 )= X l ( 7 )+ X 0 ( 8 )= 7 5 4+ l 1= 7 6 5   2. 作 X0 、Xl 的 时 闻 散 点 圈 , 选 定 预测 摸 毽  散 点图 见 图 3、 图 4。

显 见, 图 3所 示 的 原始 数 列 无 明显 规 律 可 循, 而 图 4的 一 次 累 加  生 成 数 列 散 点 图却 明显 表 明简 单 指 数 规 律 , 故 此 , 选 用 GM ( 1 , 1 )模型进行预测 。

  圈 3   X  D —t m点 圈  圈4   Xl —t 散 点 圈  3. 建 立模 型 , 进 行 预 潮  GM ( 1 , 1 ) 模 型 的形 式 为 t   学+  = “   郧;   o= 一a X1 +“   (8)   用 一 元 线性 回 归 对 (8)式 中参 数Ⅱ 、n 进 行 估 计 。

根 据 前 面对 ( 4 )式 的 解 释 , 计 算  榴 邻 两 时 间 点 的 中点 值  , 建 立  。

与  t  的 对应 关系 ( 表2 ) 。

  一 2 4 一  ,  

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