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2013年浙江省高中数学竞赛预赛试题及答案

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2013 年浙江省高中数学竞赛试题 一、选择题 1. 集合 P  { x x  R , x  1  1 }, Q  { x x  R , x  a  1} , 且 P  Q   ,则实数 a 取值范围为( ) A. a  3 B. a   1 .  C. a   1 或 a  3 ) D.  1  a  3 2. 若  ,   R , 则     9 0 是 s in   s in   1 的( A. 充分而不必要条件 3. 已知等比数列{ a A. 3 9 8 1 n B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ) }: a 1  3 , 且第一项至第八项的几何平均数为 9,则第三项是( C. 3 B. 3 7 8 1 9 D. 3 3 ) 2 4. 已知复数 z  x  y i ( x , y  R , i 为虚数单位) ,且 z  8 i ,则 z  ( A. z  2  2 i C. z   2  2 i , 或 z  2  2 i 2 B. z   2  2 i D. z  2  2 i , 或 z   2  2 i 5. 已知直线 A B 与抛物线 y  4 x 交于 A , B 两点, M 为 A B 的中点, C 为抛物线上一个动点,若 C 0 满 足 C 0 A  C 0 B  m in { C A  C B } ,则下列一定成立的是( A. C 0 M  A B         ) 。

D. C 0 M  1 2 3 2 B. C 0 M  l , 其中 l 是抛物线过 C 0 的切线 C. C 0 A  C 0 B AB 6. 某程序框图如下,当 E  0.96 时,则输出的 K=( ) A. 20 B. 22 C. 2 4 D. 25 开 始 1 1 K=1, S=0 2 2 3 S=S+1/(K(K+1)) 正视图:上下两个 正方形 侧视图 1 S>=E? 是 否 K=K+1 俯视图:边长为 2 的 正三角形 输出 K 7. 若三位数 a b c 被 7 整除, a , b , c 成公差非零的等差数列, 且 则这样的整数共有 ( 1 ) 个。

A.4 B.

6 C. 7 D 8 8. 已知一个立体图形的三视图如下,则该立体的体积为( A. 3 3 B. 3 2 2 3 ) 。

3 C. 9 2 3 D. 9 4 3 9. 设函数 f ( x )  x ( x  1) ( x  2 ) ( x  3 ) ,则函数 y  f ( x ) 的极大值点为( 4 ) A. x  0 B. x  1 C. x  2 D. x  3 10. 已知 f ( x ), g ( x ), h ( x ) 为一次函数,若对实数 x 满足   1, x   1  f ( x )  g ( x )  h ( x )   3 x  2 ,  1  x  0 ,则 h ( x ) 的表达式为(  2 x  2, x  0  ) 。

A. h ( x )  x  二、填空题 1 2 B. h ( x )   x  1 2 C. h ( x )   x  1 2 D. h ( x )  x  1 2 11. 若 ta n x ta n y  2 , s in x s in y  2 1 3 ,则 x  y  _________________。

12. 已知 f ( x )  x  ( k  1) x  2 ,若当 x  0 时 f ( x ) 恒大于零,则 k 的取值范围为_____________ 。

13. 数列 { n n } , n  1, 2 ,  ,则数列中最大项的值为______________。

2 2 2 2 14. 若 x , y  R ,满足 2 x  2 x y  2 y ( x  x )  x  5 ,则 x  ,y  5 ,则直线 l 的方程为 15.设直线 l 与曲线 y  x  x  1 有三个不同的交点 A , B , C ,且 A B  B C  3 。

16. 若 a  0 , b  0 , 则 m in { m a x ( a , b , 1 a 2  1 b 2 )}  ________________________。

17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含第一象限 x , y 轴上的整点) ,其运动规律为 ( m , n )  ( m  1, n  1) 或 ( m , n )  ( m  1, n  1) 。

若该动点从原点出发,经过 6 步运动到(6,2)点,则 有___________________种不同的运动轨迹。

三、解答题 18. 已知抛物线 y  4 x ,过 x 轴上一点 K 的直线与抛物线交于点 P , Q , 两点。

证明,存在唯一一点 K , 2 使得 1 PK 2  1 KQ 2 为常数,并确定 K 点的坐标。

2 2 19. 设二次函数 f ( x )  a x  ( 2 b  1) x  a  2 ( a , b  R , a  0 ) 在[3,4]上至少有一个零点,求 a  b 的 2 2

最小值。

20. 设 x  N 满足  差数列; 1 x    x  2013  2014 2013 . 数列 a 1 , a 2 ,  , a 2 0 1 3 是公差为 x 1 x x 2013 2 2012  1 的等 ,首项 a 1  ( x  1) x , 数 列 b1 , b 2  , b 2 0 是 公 比 为 1 3 , 首 项 b1  ( x  1) x 2013 的等比数列,求证: b1  a 1  b 2    a 2 0 1 2  b 2 0 1 3 。

21. 设 a , b , c  R , a b  b c  c a  3, 证明: a  b  c  a ( b  c )  b ( c  a )  c ( a  b )  9 。

5 5 5 3 2 2 3 2 2 3 2 2  22. 从 0,1,2,„,10 中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法” ,若各条线段相连 3

的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同,则称这样的填法为“完美填法” 。

试问:对图 1 和图 2 是否存在完美填法?若存在,请给出一种完美填法;若不存在,请说明理由。

6 10 A1 A3 5 A2 A4 7 A5 A7 1 (图 1 ) 9 A6 (图 2) A8 2013 年浙江省高中数学竞赛试题解答 一、选择题 4

4. 集 合 P  { x x  R x 1  1} , Q  { x x  R , x  a  1} , 且 P  Q   , 则 实 数 a 取 值 范 围 为 , ( A. a  3 答案 C ) B. a   1 . C. a   1 或 a  3 D.  1  a  3 P  { x 0  x  2} , Q  { x a  1  x  a  1} , 要使 P  Q   ,则 a  1  2 或 a  1  0 。

解得 a  1 或 a  3 。

5. 若  ,   R , 则     9 0 是 s in   s in   1 的(  ) A. 充分而不必要条件 C. 充要条件  B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 D 若   0 ,   9 0  s in   s in   1 。

 当     6 0  s in   s in   3  1 ,但     9 0  。

) 6. 已知等比数列{ a A. 3 9 8 1 n }: a 1  3 , 且第一项至第八项的几何平均数为 9,则第三项是( C. 3 B. 3 7 8 1 2 7 9 D. 3 3 答案 B 计算得 q  3 , a 3  3 7 8 1 。

2 4. 已知复数 z  x  y i ( x , y  R , i 为虚数单位) ,且 z  8 i ,则 z  ( ) A. z  2  2 i C. z   2  2 i , 或 z  2  2 i 答案 D B. z   2  2 i D. z  2  2 i , 或 z   2  2 i 5. 已知直线 A B 与抛物线 y  4 x 交于 A , B 两点, M 为 A B 的中点, C 为抛物线上一个动点,若 C 0 满 2 足 C 0 A  C 0 B  m in { C A  C B } ,则下列一定成立的是( A. C 0 M  A B C. C 0 A  C 0 B 答案 B               C A  C B  (C M  A M )  (C M  B M )  C M    CM 2 2         ) 。

B. C 0 M  l , 其中 l 是抛物线过 C 0 的切线 D. C 0 M  1 2            CM (AM  BM )  AM  BM AB    AM 2        m in { C A  C B }  C M m in  CM  l 。

6. 某程序框图如下,当 E  0.96 时,则输出的 K=( A. 20 B. 22 C. 2 4 D. 25 ) 5

开 始 K=1, S=0 S=S+1/(K(K+1)) S>=E? 是 否 K=K+1 输出 K , 答案 C S  1 1 2  1 23   1 k  ( k  1)  1 1 k 1  0 .9 6  k  2 4 . 7. 若三位数 a b c 被 7 整除,且 a , b , c 成公差非零的等差数列,则这样的整数共有( A.4 B. 6 C. 7 D 8 )个。

答案 D 设三位数为 ( b  d ) b ( b  d )  1 1 1 b  9 9 d ( 0  b  9 ,  9  d  9 , d  0 ) , 由 7 (1 1 1b  9 9 d )  7 ( b  d )  b  1, d   1; b  2 , d   2; b  3, d   3; b  4 , d  3,  4; b  5, d  2; b  6 , d  1; b  8, d   1 。

所以,所有的三位数为 2 1 0 , 4 2 0 , 6 3 0 ,1 4 7 , 8 4 0 , 3 5 7 , 5 6 7 , 9 8 7 8. 已知一个立体图形的三视图如下,则该立体的体积为( A. 3 3 B. 3 2 3 ) 。

C. 9 2 3 D. 9 4 3 6

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